Autores: Mauro Benito Montoya Arenas (mauro2017pre@gmail.com)             

                Terry Quispe Paniagua (terryfiee2021@gmail.com)

MODELO DEL CONTROL DE NIVEL Y CAUDAL DE LÍQUIDO EN UN DEPÓSITO CILÍNDRICO USANDO LA HERRAMIENTA SIMULINK DE MATLAB

1.      Realice una revisión de la literatura científica reciente sobre la obtención y/o utilización del modelo matemático de algún sistema físico de su interés. Deberá presentar:

INTRODUCCION

Los sistemas continuos en el   tiempo   pueden ser representados a través de una función de transferencia, la cual es una expresión matemática del modelo del sistema, formada por el cociente de dos polinomios, expresados en transformada de Laplace.

En el caso del ejercicio 1: Muchos procesos de producción requieren del suministro de algún líquido como materia prima, dispensados desde una gran altura, es inverosímil la revisión permanente del nivel del líquido en el depósito, como también del caudal que ingresa y sale del mismo, para lograr controlar un proceso es importante tratarlo como un sistema continuo en el tiempo, en el cual cada una de sus partes, cumple una función y se interrelaciona con las demás.

En este documento se emplea la técnica de modelado con bloques funcionales para obtener la función de transferencia del proceso del control de nivel y caudal de un líquido en general, con el fin de modelar su comportamiento usando la herramienta Simulink de Matlab, facilitando así poder manipular las variables involucradas en el proceso y observar su comportamiento frente a las diferentes modificaciones, lo cual nos permitirá elegir las características más convenientes para cualquier proceso que requiera contar con el suministro de un líquido como materia prima. 

En el caso del ejercicio 2:  Tenemos un circuito netamente mecánico con distintos componentes, aplicando la ley de fuerzas de Newton lo resolveremos y sacaremos su función de transferencia.

En el caso 3: El motor eléctrico es un aparato muy relacionado a la carrera de ingeniería eléctrica y electrónica. Al sistema que tenemos se le ha añadido 2 engranajes. En esta parte del trabajo   hallaremos la función de transferencia teniendo como salida el ángulo de barrido del segundo engranaje y como entrada: primero el voltaje de alimentación y después la corriente que circula por el motor.

- ¿Por qué eligió este sistema?

Elegimos este sistema porque nos ayudara a poner a prueba todos nuestros conocimientos ya adquiridos. Para empezar, es un sistema cuya variable a controlar será la altura del agua de un tanque, como en teoría ya hemos trabajado con fluidos podremos entender las ecuaciones que vamos a implementar. El sistema tiene dos entradas y una salida, por lo que no es difícil de entender el funcionamiento de este. Tiene un sensor que nos permitirá medir la altura del agua del tanque, otro sensor que mide el caudal y un motor eléctrico bombeará el agua de realimentación (otro concepto que ya hemos estudiado), es decir, tenemos una parte mecánica y una parte eléctrica. La realimentación nos permitirá introducir más o menos agua según lo necesitemos. También vemos en el esquema que tenemos una válvula de salida que es manual. Esto nos permitirá controlar manualmente el caudal de salida, ósea, el sistema tiene un control automático y manual. Como se pueden dar cuenta. Este sistema es muy completo y nos permitirá afianzar nuestros conocimientos, esa es la razón por la que hemos escogido este sistema.

- Descripción del sistema físico y de su funcionamiento.

Ilustración 1. Diagrama de bloques para el sistema de control clásico de nivel y caudal de líquido, subsistemas y sensores requeridos en el proceso

El sistema consta de un tanque de suministro para el líquido de altura H(t), esta variable representa el nivel del líquido, cuya entrada se regula a través de una electroválvula Pe(t), el nivel del tanque se mide con el sensor que entrega una señal representada en un voltaje NI(t) al comparador de nivel, este tiene un valor de referencia NR(t) representado en un voltaje predeterminado. NR(t) y NI(t) se restarán y formarán la variable NS(T).

El caudal de salida CS(t) es medido por un sensor que entrega una señal de voltaje Cx(t) ubicado antes de la válvula manual que regula el caudal  de salida, las señales entregadas por la salida del comparador de nivel NS(t) y el sensor de caudal Cx(t) se suman y dan como resultado una señal de voltaje G(t), esta resulta ser la realimentación que hace girar el motor eléctrico para realizar la apertura de la electroválvula de entrada, esto con el fin de que el sistema tenga un flujo continuo del caudal del líquido en tanto no se llene el tanque. La realimentación es justamente la que permite esto.

La válvula de salida Pm(t) es de tipo manual, así que por esta razón se le considerará como una entrada, por no depender de ninguna otra  variable.

- Un resumen y explicación detallada de la obtención del modelo. 

Procedemos ahora a analizar matemáticamente el sistema:

El caudal de entrada será:               Ci(t)=K1*Pe(t) (ec. 1)

Siendo:  Ci(t): caudal de entrada 

  K1: Constante que representa cuanto caudal fluye por la válvula de entrada (litros/seg)

Pe(t): Recorrido en grados de la válvula de entrada 

En el tanque tendremos un caudal que entra y otro que sale, por el principio de Bernoulli:

Ci(t)-Cs(t)=A(dH(t)/dt)                                     (ec.2)

Siendo: Cs(t): Caudal de salida (metros.area/seg)

A: Área de salida (〖metros〗^2)

H(t): Altura del líquido en el tanque (metros)

dH(t)/dt: Variación de la altura con respecto al tiempo que representa el nivel del mismo

La fuente que bombeará el agua que realimenta al tanque será un motor eléctrico, Se puede considerar el motor eléctrico como un sistema de primer orden, con una ganancia estática M1 y una constante de tiempo Kt, con una entrada Pe(t):

M1G(t)=Pe(t)+Kt*(dPe(t))/dt (ec. 3)

Siendo: G(t): Tensión del motor de la válvula de entrada

            M1: Ganancia estática

            Kt: constante de tiempo

            (dP_e (t))/dt: Variación del grado de la válvula de entrada respecto al tiempo que representa el                 grado variante

Observemos ahora que el sensor de nivel tendrá una salida NI(t), esto será igual a una tensión constante por cada metro de la altura del líquido H(t)

NI(t)=Tn*H(t) (ec. 4)

Siendo: Tn: Tensión constante por cada metro del liquido

NI: Nivel del sensor de salida (en voltios por metros)

Ahora haremos el análisis del sensor de caudal Cx(t) que tendrá una expresión parecida.

Cx(t)=Cs(t)*Kc (ec. 5)

Siendo: Kc: Constante del sensor

        Cx(t): Sensor de caudal

Tenemos definido matemáticamente todas las variables, pasemos ahora vamos a ver la interrelación entre estas:

Los comparadores de nivel y voltaje responden entregando tensiones de salida, para el comparador de nivel Ns(t) y para el de caudal respectivamente

Ns(t) = Kv*[NR(t) – NI(t)] (ec. 6)

Siendo:  Ns(t): Comparador de nivel

              NR(t): valor de referencia para el nivel del liquido

              NI(t): señal entregada por el sensor de nivel

     Kv: constante de linealidad del sensor de nivel

Además: G(t)=Ns(t)+Kq*Cx(t)              (ec. 7)

Siendo: Ns(t): diferencia de nivel entregada por el comparador de nivel

    Kq: constante de linealidad del comparador de caudal

    Cx(t): Señal entregada por el sensor de caudal

Como ya habíamos dicho existe una válvula manual de salida Pm(t), entonces el caudal de salida lo definiremos como:

Cs(t)=Kpm*Pm(t)+H(t) (ec. 8)

Siendo: Kpm: constante de la válvula de salida

Tenemos todas las ecuaciones necesarias (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) y (8) y la vamos a listar:

Ci(t)= K1*Pe(t)

Ci(t)-Cs(t)=A(dH(t)/dt)

M1G(t)=Pe(t)+Kt*(dPe(t))/dt

NI(t)=Tn*H(t)

Cx(t)=Cs(t)*Kc

Ns(t) = Kv*[NR(t) – Ni(t)]

G(t)=Ns(t)+Kq*Cx(t)

G(t)=Ns(t)+Kq*Cx(t)

                Expresado en laplace:

Ci(s)= K1*Pe(s) (ec.9)

Ci(s) – Cs(s) = A*sH(s) (ec. 10)

M1*G(s) = Pe(s)* [1 + Kt*s]         (ec. 11)

NI(s) = Tn* H(s) (ec. 12)

Cx(s) = Cs(s) * Kc (ec. 13)

                                           Ns(s) = Kv*[NR(s) – Ni(s)] (ec. 14)

                                     G(s) = Ns(s) + Kq*Cx(s)       (ec. 15)

                                       Cs(s) = Kpm* Pm(s) +H(s)       (ec. 16)

La representación gráfica seria la siguiente:

Ilustración 2. Diagrama de bloques general con todos los bloques integrados

En el dibujo se aprecia la salida H(s) con respecto a sus dos entradas. Ahora veremos el sistema expresado en diagramas de flujos.

Ilustración 3. Diagrama de flujos del sistema

Hallamos ahora H(s) con respecto a NR(s):

Ilustración 4. Diagrama de flujos del sistema con respecto a NR(s)

M1'=Kv*K1*M1/(1+Kts)*1/As (ec. 17)

L1=-Kv*K1*M1/(1+Kts)*1/As*Tn (ec. 18)

                     L2=-1/As (ec. 19)

L3=K1*M1/(1+Kts)*1/As*Kc*Kq (ec. 20)

 Fórmula de Mason:  

(ec. 21)

Función de transferencia:  

(H(s))/(NR(s))=(Kv*K1*M1/(1+Kts)*1/As)/(1+Kv*K1*M1/(1+Kts)*1/As*Tn+1/As-K1*M1/(1+Kts)*1/As*Kc*Kq) (ec. 22)

En forma simplificada:

Función de transferencia de la altura H(s) con respecto al nivel de referencia:

(H(s))/(NR(s))=(Kv*K1*M1 )/(Kt*A*s^2+(Kt+A)s+M1*K1*(-Kc*Kq+Kv*Tn)+1) (ec. 23)

Hallamos ahora H(s) con respecto a Pm(s):

Ilustración 5. Diagrama de flujos del sistema con respecto a Pm(s)

M1'=Kpm*KcKq*M1/(1+Kts)*1/As (ec. 24)

               M2^'=-Kpm*1/As (ec. 25)

L1=-Kv*K1*M1/(1+Kts)*1/As*Tn (ec. 26)

                      L2=-1/As (ec. 27)

L3=K1*M1/(1+Kts)*1/As*Kc*Kq (ec.28)

                  Formula de Mason: 

(ec. 29)

Función de transferencia:  

(H(s))/(Pm(s))=(Kpm*KcKq*M1/(1+Kts)*1/As-Kpm*1/As)/(1+Kv*K1*M1/(1+Kts)*1/As*Tn+1/As-K1*M1/(1+Kts)*1/As*Kc*Kq) (ec, 30)

En forma simplificada:

Función de transferencia de la altura H(s) con respecto a la válvula manual de salida:

(H(s))/(Pm(s))=(Kt*Kpm*s+Kpm*(M1*K1*Kq*Kc-1))/(Kt*A*s^2+(Kt+A)s+M1*K1*(-Kc*Kq+Kv*Tn)+1) (ec. 31)

- Representación del sistema en Matlab/ Simulink:

Ilustración 6.  Funcionamiento del sistema mostrando sus componentes

BLOQUES FUNCIONALES

Con las funciones anteriormente halladas y definidas en el dominio de laplace es posible realizar un diagrama de bloques para cada ecuacion.

Ilustración 7. Bloque funcional para la válvula de entrada

Ilustración 8.  Bloque funcional para el deposito del liquido

Ilustración 9. Bloque funcional para el motor eléctrico

Ilustración 10. Bloque funcional  para el sensor de caudal

Ilustración 11. Bloque funcional  para el comparador de nivel

Ilustración 12. Bloque funcional para el comparador de caudal

Ilustración 13. Bloque funcional para el caudal de salida

Diagrama de bloques general del sistema

Con los bloques obtenidos por medio de las ecuaciones en Laplace es fácil poder construir o modelar el sistema completo ya que solo debemos anexar las entradas y las salidas que son iguales, es decir conectar una entrada con una salida si es que tiene mismo índice.

Hay que destacar que este sistema consta de 2 entradas las cuales son NR(s) que el voltaje de referencia que refleja el nivel que se quiere conservar y Pm(t) que es la válvula que regula el caudal saliente, se considera como entrada debido a que es totalmente externa al sistema que no se puede gobernar. Las variables de salida son el nivel del depósito H(s) y el caudal de salida C(s).

Ilustración 14.  Modelado del sistema con 2 entradas y 2 salida

RESPUESTA DEL SISTEMA

Debido a que el sistema consta de 2 entradas, para conocer la función de transferencia podemos aplicar el principio de superposición, para ello anulamos una entrada y hallamos la respuesta, posteriormente anulamos la otra entrada y hallamos su respuesta, finalmente podemos obtener la respuesta total del sistema con la suma de estas 2 respuestas individuales.

Ilustración 15. Modelado del sistema por superposición

Una vez obtenido los diagramas que describirán la respuesta de nuestro sistema, estos no funcionaran si no asignamos los valores a las contantes que participan en el proceso, para ello hacemos uso de matlab y creamos un Script definiendo cada variable que son las características físicas de nuestros componentes que intervienen en el sistema.

Ilustración 16. Definición de las contantes en Script

De Simulink a Matlab

Ilustración 17.  Adición de bloque To workspsace

Se adiciono un bloque to workspace para poder visualizar la salida en matlab con el comando plot teniendo en cuenta la base de tiempo en este tout

Ilustración 18. Parámetros del bloque To workspace

Ilustración 19. comandos para visualizar la respuesta

Ilustración 20. Grafica de la señal de salida hecho en Matlab

- Explicación de los resultados de la simulación.

RESULTADOS DE LA SIMULACION

Cuando asignamos un nivel de referencia de 30m y Pm=2, la respuesta del sistema se ve como se muestra la ilustración 10 , claramente se nota que la salida ósea el nivel del tanque en ningún momento supera nuestra referencia , es decir que nuestro sistema esta asegurando que no existirá derrame del liquido.

Ilustración 21.  Respuesta al sistema cuando NR(s)=30, Pm(s)=2

Ahora podemos observar el comportamiento en diferentes casos solo es necesario cambiar las constantes que se utilizan en el Script que se creó, por ejemplo cambiaremos Pm(s)=0.05 y NR(s)=20 que son nuestras entradas además cambiaremos en el Script el valor de K1=20 , como se traduce esto que cambiamos , simplemente K1 indica que hemos aumentado a 4 veces el caudal de la válvula de entrada con respecto al anterior sistema de K1=5,nuestro nivel de referencia también ha cambiado y también lo ha hecho Pm(s) esto indica que la salida tendrá una apertura muy pequeña que se traduce como un caudal bastante reducido.

Ilustración 22. Respuesta para K1=20 , NR(s)=20 ,Pm(s)=0.005

Como era de esperarse el nivel del líquido se incrementó a consecuencia de tener un mayor caudal de entrada y restringir a un valor bastante pequeño el caudal de salida, si realizamos una comparativa con el resultado anterior veremos que tiene bastante sentido que la respuesta tenga el nivel de referencia por encima del anterior sin embargo también nos damos cuenta que el sistema nuevamente responde por debajo del nivel de referencia asegurando que el líquido no se desbordara.

Ilustración 23. Respuesta integrada del sistema Naranja NR(s),Azul Cs(s),Amarillo H(s)

Entonces llegamos a la conclusión si es que nosotros incrementemos el caudal de salida sin alterar el caudal de entrada el nivel seguirá descendiendo, caso contrario sería cuando incrementamos el caudal de entrada el nivel del líquido aumentará hasta un valor por debajo del nivel de referencia asignado.

- Comentarios finales:

El modelo descrito cumple razonablemente su función, nos dimos cuenta de que modificándolo podemos someterlo a pruebas de las descritas cumpliendo siempre que se mantendrá por debajo del nivel referencia , la herramienta Simulink y Matlab resulta realmente útil una modelando el sistema en bloques y el otro con la creación del archivo que describe las constantes del sistema a usar , es sencillo modificar los parámetros sin tener que tocar los bloques implementados , es verdad también que se requiere conocimiento de lo que se va a modelar para poder hacer correctamente las ecuaciones de cambio que rigen el sistema y que sea los más próximo a la realidad.

2. Considerando el sistema de la figura 1, obtenga las funciones de transferencias que representan la relación entre la aplicación de una fuerza u2 y los desplazamientos producidos en y1 e y2.

Ilustración 24. Sistema mecánico de la pregunta 2

SOLUCION:

Aplicando la primera ley de newton, sumatoria de fuerzas es igual a masa por aceleración

Definiendo:

También:

Entonces la ecuación está definida:

Calculo de la función de transferencia:

Lo primero que tenemos que hacer es transformar nuestras ecuaciones al dominio de Laplace de la siguiente manera:

s²y_2 (s)=  1/m_2 [sy_1 (s) b_1-sy_2 (s) b_1+k_2 y_2 (s)+u(s)] (ec. 47)

s²y_1 (s)=  1/m_1 [sy_2 (s) b_1-sy_1 (s) b_1+k_1 y_1 (s)] (ec. 48)

Despejando y1(s) de la ecuación 2 obtenemos:

y_1 (s)=(sy_2 (s) b_1)/(m_1 s^2+k_1+sb_1 ) (ec. 49)

Ahora reemplazamos esta expresión en la ec. (1) y obtenemos podemos obtener la función de transferencia para y2(s)

(y_2 (s))/(u(s))=(〖m_1 s²+k〗_1+sb_1)/(m_1 m_2 s^4+b_1 (m_1 〖+m〗_2 ) s^3+s^2 (k_1 m_2-k_2 m_1+b_1^2-b_1 )+sb_1 (k_1-k_2 )-k_1 k_2 ) (ec.50)

Ahora en la ec.(2) despejamos y2(s) para luego reemplazar en la ec(1) y obtener las función transferencia con respecto a y1(s):

y_2 (s)=(y_1 (s)(m_1 s^2+k_1+sb_1))/(sb_1 ) (ec. 51)

Reemplazamos lo obtenido en la ec.(1) y despejamos:

(y_1 (s))/(u(s))=(sb_1 m_2)/(m_1 m_2 s^4+b_1 (m_1 〖+m〗_2 ) s^3+s^2 (k_1 m_2-k_2 m_1+b_1^2-b_1 )+sb_1 (k_1-k_2 )-k_1 k_2 ) (ec. 52)

Modelamiento de bloques a partir de las ecuaciones obtenidas empezando por la entrada y acomodando los bloques de manera que las salidas de un bloque funcional se conecten a las entradas de otro con el mismo parámetro.

Ilustración 25.  Diagrama de bloques del sistema Simulink

Ilustración 26. Función de transferencia: y1/u(arriba), y2/u(abajo)

Ilustración 27.  Parámetros físicos de los elementos del sistema

Ilustración 28.  Respuesta Y1 del sistema ante un Step

Ilustración 29.  Respuesta Y2 del sistema ante un Step

Análisis

 Cómo se logra observar las salidas del sistema en respuesta ante un escalón se aprecia que la distancia empieza a decrecer amortiguadamente conforma pasa el tiempo hasta hacerse un valor bastante pequeño , con respecto a Y2 se apreció un mayor amortiguamiento ligeramente más rápido debido a los parámetros del resorte 2 que es mayor que el resorte 1 además que el desplazamiento Y2 está ligado a la fuerza de aplicación y a las fuerzas que se oponen a esta como son el resorte 2 ,como a la viscosidad del amortiguador. Entonces Y1 se desplaza primero ya que la fuerza se aplica sobre la masa 2, como consecuencia la masa 1 se verá desplazada, pero tendrá que ser frenada por los elementos incidentes en él.

3) Para el motor con reductor de engranajes que se muestra a continuación (figura 2), determinar:

Ilustración 30. Esquema del sistema electromecánico de la pregunta 3

-La función de transferencia G(s) considerando como entrada el Voltaje de alimentación del motor y como salida la posición angular θ2.

Ilustración 31. Se muestra la parte eléctrica del motor de corriente continua (cc)

Definimos: E_a:Voltaje aplicado a la armadura

                        R_a:Resistencia de armadura

                        L_a:Inductancia de armadura

                        i_a:Corriente  de armadura

                       V_b:Fuerza  contra electromotriz

                    T_m:Torque creado por el motor

                    w_m:velocidad angular del motor

Ilustración 32. J_m es la inercia equivalente a la armadura y B_m es la amortiguación viscosa

Ilustración 33. Fórmula del engranaje

Simulación del sistema en Matlab 

Ilustración 34. Se muestra el script programado para simular la entrada y salida del sistema

Ilustración 35. Se muestra la señal de entrada (morado) y la señal de salida (anaranjado)

Simulación del sistema en Simulink 

Ilustración 36. Función de transferencia del sistema motor con reductor de voltaje

Ilustración 37. Introducimos los parámetros que requiere el sistema

Ilustración 38. Se muestra la señal de entrada escalón (azul) y la señal de salida: el angulo θ_2 (amarillo)

Análisis

Se puede observar que la función de salida tiene la forma de una rampa, lo que es conforme ya que el angulo de barrido siempre va a aumentar conforme pase el tiempo. Recordemos que:

∆θ=∆ω∆t (ec. 68)

En nuestro caso la frecuencia angular es constante, lo podemos comprobar variando la función de transferencia por H(s)=(w_2 (s))/(E_a (s))  :

Ilustración 39. Función de transferencia teniendo w_2 como salida

Ilustración 40. Señal de salida en amarillo cuando la salida es w_2. Se puede comprobar que es constante

Ya que w_2 es constante, eso significa que va a ver una relación directa entre el tiempo y el ángulo θ_2. Mientras el tiempo aumente también lo hará así el ángulo, con una pendiente = w_2. Podemos decir entonces que la función de salida mostrada en la pantalla del scope es coherente con la respuesta esperada.

,-La función de transferencia H(s) considerando como entrada la corriente i del motor y como salida la posición angular θ2.

Simulación del sistema en Matlab

Ilustración 41. Se muestra el script programado para simular la entrada y salida del sistema

Ilustración 42. Se muestra la señal de entrada (morado) y la señal de salida (anaranjado)

Simulación del sistema en Simulink 

Ilustración 43. Función de transferencia del sistema motor con reductor de voltaje

Ilustración 44. Introducimos los parámetros que requiere el sistema

Ilustración 45. Se muestra la señal de entrada escalón (azul) y la señal de salida: el ángulo θ_2 (amarillo)

Análisis

En este caso ocurre algo similar con el caso anterior, el ángulo de barrido siempre va aumentar conforme el motor siga funcionando, si bien en este caso la señal de entrada era la corriente, hay una estrecha relación entre el voltaje y esta. Para un análisis a profundidad hemos hecho un cambio en la señal de entrada. Vamos a comparar como es la salida cuando tengo la señal de entrada: u(t)-u(t-40). Esto es equivalente a decir que a los 40 segundos de iniciado el movimiento del motor apagamos el mismo.

Ilustración 46.  Cambio la señal de entrada para analizar una salida distinta

Ilustración 47. Señal de entrada (azul) y señal de salida (amarillo)

Acá podemos que cuando deja de circular corriente (se apaga el motor), el ángulo se vuelve constante, es decir que se queda en su posición final. Lo cual tiene mucho sentido, ya que sin corriente el motor se paraliza y se queda en la posición final.

PAPER USADOS PARA EL EJERCICIO 1 

https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=4762998

file:///C:/Users/Mauro/Downloads/Dialnet-ModeloDelControlDeNivelYCaudalDeLiquidoEnUnDeposit-4762998%20(2).pdf

http://repositorio.utp.edu.co/dspace/bitstream/handle/11059/1772/6298A696.pdf;jsessionid=60BD54541219C665FA46B19EFEF66074?sequence=1

https://bibdigital.epn.edu.ec/bitstream/15000/5113/1/T2298.pdf