Autor: Mauro Montoya Arenas

SEÑALES DISCRETAS EXPONENCIALES

EXPONENCIALES REALES

En las señales exponenciales discretas y reales, la secuencia creciente o decreciente es una señal similar al formato continuo, con la diferencia que, en el caso discreto el tiempo de muestra a muestra es controlada por el periodo de muestreo que se utilice. Su formato es el siguiente: 

, donde A y α son números reales

La exponencial discreta será decreciente en amplitud a lo largo del tiempo siempre que |α|<1 , y será creciente cuando |α| > 1. Para el caso en que α = 1 tenemos una secuencia constante para todo n.

Bien, ahora vamos a realizar un ejemplo de secuencias exponenciales reales y discretas, en Matlab. En este ejemplo vamos a comprobar que ocurre con la grafica exponencial cuando variamos el valor de alfa. 

Para nuestro caso, la amplitud será de 2. Y el tiempo discreto irá desde -10 a 30 de 1 en 1.

Para el primer caso, supondremos que alfa sea menor a 1. Por eso, colocamos alfa igual a 0.9. Y definiremos xn1=A*alfa^n.

Para el segundo caso, supondremos que alfa sea mayor a 1. Por eso, colocamos alfa igual a 1.1. La definición de xn2, es igual a la definición de xn1, solo que ahora cambio el valor de α.

Ahora, para el tercer caso, supondremos que alfa sea un numero entre -1 y 0. Por eso, colocamos alfa igual a -0.9. La definición de xn3, es igual a la definición de xn1, solo que ahora cambio el valor de α.

Por último, para el cuarto caso, supondremos que alfa sea un numero menor a -1. Por eso, colocamos alfa igual a -1.1. La definición de xn4, es igual a la definición de xn1, solo que ahora cambio el valor de α. Bien, si le damos a correr, notaremos las 4 graficas posibles que puede generar una función exponencial real en tiempo discreto.

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EXPONENCIALES COMPLEJAS

Esas son las variables complejas, expresadas por su módulo y ángulo. Entonces, con estas expresiones, podemos hacer lo siguiente: Si "x", es igual a A por α^n. Entonces, "x", es igual al módulo de A por su fase (e^jφ), multiplicado por  |α|^n por su fase (e^jωn). Podemos reconocer 3 partes en esta ecuación: Contamos con un factor de escala, una variación de magnitud, y una variación de fase.

Ya hicimos un ejemplo de como se comportaría la señal para un caso en que A y alfa sean números reales. Ahora, evaluemos el comportamiento de la fase con respecto al tiempo. Supongamos que φ valga pi/36 y que ω sea pi/6. 

Entonces, la variación de la fase sería de la siguiente manera. Notemos, como la fase de la señal, va cambiando mientras varía el tiempo discreto. Para llegar a la posición de inicio, el tiempo discreto tiene que encontrarse en 12. De esa manera, la fase habrá recorrido un ángulo de (pi/6)x12, es decir, 2pi o un circulo entero. Pasado este tiempo, la fase de la señal se repite de manera cíclica.

Bien, ahora vamos a graficar la parte real y la parte imaginaria de una exponencial compleja en Matlab. El tiempo discreto n irá desde -25 a 25. La amplitud será de 1.5. La variable alfa será igual a 1. Con estos datos definimos xn igual a la amplitud A, por alfa a la n, por la exponencial a la j*n/4.

Para graficar la parte real, en el stem debemos colocar xn dentro de la función real. Y para graficar la parte imaginaria, debemos colocar en el siguiente stem, el xn dentro de la función imag. 

Bien, ahora le vamos a dar a correr y observamos la grafica:

% ----------------------------------------------------

% Función exponencial compleja: x = A*e^(j*n/4)

% ----------------------------------------------------

n = -25:25;

A=1.5;

alfa=1;

xn = A*alfa.^(n).*exp(j*n/4);

subplot(211);

stem(n, real(xn),'r');

grid on;

title('Parte Real de x[n]');

xlabel(' n ');

subplot (212);

stem (n, imag(xn),'b');

grid on;

title ('Parte Imaginaria de x[n]');

xlabel ('n');

Viendo la grafica, y si consideramos n=0 como punto medio. Nos podemos dar cuenta que la parte real de la función compleja es una secuencia simétrica o par. Y la parte imaginaria es una secuencia anti simétrica o impar. 

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Secuencia simétrica y antisimétrica 

A una secuencia se le llama simétrica o par si dicha secuencia tiene la misma forma para n<0 y para n>0. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

Y a una secuencia se le llama antisimétrica o impar si dicha secuencia tiene la misma forma pero invertida para n<0 con respecto a n>0. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:

Ahora, con las funciones exponenciales complejas podemos hablar de secuencias simétricas y anti simétricas conjugadas. Recordemos que en una secuencia exponencial compleja siempre se va a cumplir que la parte real es simétrica, y la parte imaginaria es anti-simétrica. Partiendo de ese hecho, podemos definir la secuencia simétrica conjugada, esta secuencia será igual a su conjugada evaluada en -n. En su valor real será igual a la parte real de la secuencia x evaluado en -n. Y en su parte imaginaria será igual a  menos la parte imaginaria de x evaluado en -n

Así también, podemos definir la secuencia antisimetrica conjugada, que será igual a menos su conjugada compleja evaluada en -n. En su valor real será igual a menos la parte real de la secuencia x evaluado en -n. Y en su parte imaginaria será igual a la parte imaginaria de x evaluado en -n.

La secuencia simétrica conjugada y la secuencia anti simétrica conjugada nos sirve para expresar un teorema importantísimo:

Donde la secuencia simétrica conjugada es igual a 1/2 de la suma de x mas su parte conjugada evaluado en -n.  Y la secuencia anti-simétrica conjugada es igual a 1/2 la suma de x menos su parte conjugada evaluado en -n. Las señales exponenciales complejas nos van a hacer de mucha utilidad cuando estemos hablando de la transformada de fourier, es por ello la razón de aprenderlas. Además, en los sistemas de procesamiento digital de señales es importante el uso de estos pares de secuencias, especialmente aquellos que implican modulación.

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Quieres saber los principios básicos del procesamiento digital de señales. Quizás te interese: https://educatronicosisc.blogspot.com/2022/04/procesamiento-digital-de-senales-en.html

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