Señales senoidales en tiempo continuo y tiempo discreto
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Señales senoidales en tiempo continuo
El estudio de las funciones senoidales (seno y coseno) es debido a que estas son funciones que frecuentemente aparecen en el estudio de señales analógicas. En el procesamiento digital de señales, las señales analógicas se convierten en señales discretas. Su forma matemática es la siguiente:
x(t)=Acos(2πft+θ)
la señal en tiempo continuo "x" es igual, a la amplitud A por coseno de 2π por la frecuencia "f" por el tiempo continuo "t", mas la fase "θ". Esta forma constituye una forma compacta de representar una señal. Si la señal es muy compleja, es decir, que está compuesta por dos sinusoides o más, necesitamos la información de amplitud, frecuencia y fase de todas ellas, para reconstruir la señal original a partir de esta información.
Las señales sinusoidales son muy importantes. Cualquier función que no sea aleatoria puede ser aproximada con una suma de sinusoides, dichas sumas se realizan a través de las series de Fourier. De la que estaremos hablando en posteriores videos. En otras palabras, una señal puede ser compuesta con una combinación de señales simples. Por ejemplo, la señal triangular, la señal cuadrada, etc.
Ahora vamos a hacer un ejemplo de una señal coseno continuo en Matlab. Primero, debemos saber que este software no puede simular señales continuas propiamente dichas. Para asemejarnos a una señal continua en Matlab, tenemos que colocar un intervalo entre muestra y muestra bastante pequeño. De esa manera parecerá que la señal es continua.
Bien, para este ejemplo expresaremos la señal "x" igual a la amplitud A, multiplicada por el coseno de 2pi por el tiempo discreto, entre el periodo del coseno.
Después definimos el periodo del coseno "T" igual a 0.001. La amplitud será de 1, el numero de periodos que vamos a mostrar será de 3. Como te había dicho, el intervalo entre muestra y muestra debe ser muy pequeño, es por eso que, ese intervalo, será igual a 100 veces menor al periodo del coseno.
Ahora definimos el tiempo "t", que irá desde 0 hasta N*T, y el intervalo entre muestra y muestra será de k=T/100.
Con estas variables ya definidas, podemos crear nuestra señal "x". Después colocamos los comandos para graficar dicha señal, y poner los títulos y grillas. Le damos a correr, y obtenemos la siguiente gráfica. Esta señal representa un coseno continuo con un periodo de 0.001.
% -------------------------------------------------------------
% SEÑAL COSENO
% x(t)=A*cos(2*pi*t/T)
% -------------------------------------------------------------
T=0.001; % T: Periodo del coseno
A=1; % A: Amplitud del coseno.
N= 3; % n: Número de periodos a mostrar
k=T/100; % k: intervalo entre muestra y muestra de la gráfica.
t = 0 : k : N*T; % Vector Tiempo
x = A*cos(2*pi*t/T); % Vector Señal
plot(t,x,'r'), % Gráfica de la señal x(t)
grid on ;
ylabel('x(t) Amplitud');
xlabel('t Seg');
title('Señal Coseno')
Para el siguiente ejemplo vamos a graficar una señal compuesta por 3 cosenos con sus respectivas frecuencias y amplitudes. Observaremos la influencia que tiene cada coseno en la señal compuesta y calcularemos la frecuencia de la señal compuesta con respecto a la frecuencia de cada coseno.
Bien, la señal "x" tendrá la siguiente forma que estoy resaltando. cada uno de los cosenos que compone la señal compuesta, lo definiremos como x1, x2 y x3. La frecuencia del primer coseno, que lo llamaremos f1, será igual a 1000 Hertz. La frecuencia del segundo coseno, que lo llamaremos f2, será igual a 2000 Hertz. La frecuencia del tercer coseno, que lo llamaremos f3, será igual a 4000 Hertz.
La amplitud del primer coseno, que la llamaremos A, será igual a 1. La amplitud del segundo coseno, que la llamaremos B, será igual a 1/2. La amplitud del tercer coseno, que la llamaremos C, será igual a 1/8.
Para la gráfica, mostraremos 2 periodos de x1. El intervalo entre muestra y muestra, será igual al periodo de x1 entre 100. El tiempo continuo irá de 0 hasta N por el periodo de x1. Con estos datos definimos x1, x2 y x3. Finalmente, la señal compuesta x, será igual a la suma de los 3 cosenos. Ahora vamos a plotear en una misma grafica: x1, x2, x3 y x. Le pondremos distintos colores para diferenciarlas.
% -------------------------------------------------------------
% SEÑAL SUMA DE TRES FUNCIONES COSENO
% x(t)=A*cos(2*pi*f1*t)+B*cos(2*pi*f2*t)+C*cos(2*pi*f2*t)
% x1(t)=A*cos(2*pi*f1*t)
% x2(t)=B*cos(2*pi*f2*t)
% x3(t)=C*cos(2*pi*f2*t)
% -----------------------------------------------------------------
f1=1000; % f1:Frec. analógica del coseno x1(t)en Hz.
f2=2000; % f2:Frec. analógica del coseno x2(t)en Hz.
f3=4000; % f3:Frec. analógica del coseno x3(t)en Hz.
A=1; % A: Amplitud del coseno x1(t).
B=1/2; % B: Amplitud del coseno x2(t).
C=1/8; % C: Amplitud del coseno x3(t).
N=2; % N: Número de periodos a mostrar de x1(t)
w=(1/f1)./100; % w: intervalo entre muestra y muestra.
t = 0: w: N*(1/f1); % Vector Tiempo
x1 = A*cos(2*pi*f1*t); % Vector Señal x1(t)
x2 = B*cos(2*pi*f2*t); % Vector Señal x2(t)
x3 = C*cos(2*pi*f3*t); % Vector Señal x3(t)
x=x1+x2+x3;
plot(t,x,'r'); % Gráfica de la señal x(t)
hold on;
plot(t, x1,'--b'); % Gráfica de la señal x1(t)
plot(t, x2,'.-g'); % Gráfica de la señal x2(t)
plot(t, x3,'y'); % Gráfica de la señal x3(t)
hold off;
grid on ;
legend('x','x1','x2','x3');
ylabel('x(t) Amplitud');
xlabel('t Seg');
title('x(t)=A*cos(2*pi*f1*t)+B*cos(2*pi*f2*t)+C*cos(2*pi*f2*t)');
Bien, observemos por ejemplo cuando el tiempo es igual a 0.001 segundos. En ese tiempo, coinciden las amplitudes máximas de cada coseno. Lo que da como resultado, una amplitud máxima en la señal compuesta. En cambio, cuando el tiempo es igual a 0.0018, la suma de los cosenos se anulan, y la señal compuesta es prácticamente 0.
Podemos notar además, que el periodo de la señal compuesta es igual al periodo de la señal x1. Esto se da, porque, el periodo de una señal compuesta por funciones senoidales, siempre va a ser igual, al mínimo común múltiplo de los periodos de las señales senoidales que las componen. En nuestro caso, el m.c.m del periodo de las tres señales senoidales, es igual a 1/1000, el periodo de la primera señal cosenoidal.
Quieres saber los principios básicos del procesamiento digital de señales. Quizás te interese: https://educatronicosisc.blogspot.com/2022/04/procesamiento-digital-de-senales-en.html
Señales senoidales en tiempo discreto
Bien, ahora nos toca hablar de las señales senoidales en tiempo discreto. Las señales senoidales en tiempo discreto se derivan de su forma continua. Habíamos dicho, que la señal senoidal continua tenía la siguiente forma:
x(t)=Acos(2πft+θ)
Si ahora x(t) es muestreada con un periodo de muestreo de cada Tm segundos, se generaran muestras
discretas sinusoidales bajo el siguiente formato en el tiempo:
t = n.Tm
Donde: n es la variable discreta en el dominio de los enteros. De esa manera, nuestra expresión se transforma: Ahora x va a estar definida solo para valores de t igual a n por Tm.
x(nTm) = A cos (2πfnTm + ϕ)
Si reordenamos esta expresión, podemos definir las señales senoidales en función al tiempo discreto.
x[n] = A cos (2πfnTm + ϕ)
De esta expresión, podemos definir la llamada frecuencia digital, que es igual a 2πfTm. Esta frecuencia la vamos a utilizar bastante, cuando nos toque hablar de la transformada de Fourier. Entonces, nuestra señal discreta x se puede expresar de la siguiente manera:
x[n] = A cos(Ωn+ ϕ)
Para terminar, vamos a realizar un ejemplo de una señal senoidal discreta en Matlab. Primero colocamos el periodo del coseno, dicho periodo será igual al periodo del coseno continuo que habíamos graficado. Ahora tenemos que definir el periodo con que se va a muestrear el coseno. Es decir, la cantidad de muestras que le haremos al coseno en cada periodo.
El teorema de Nyquist nos indica, que para que una señal pueda ser reconstruida completamente, la frecuencia de muestreo fs debe ser mayor o igual al doble de la frecuencia f de la señal. Esto significa que, el periodo de muestreo debe ser como mínimo, la mitad del periodo de la señal.
En nuestro caso, definiremos el periodo de muestreo como, el periodo del coseno entre 20. Es decir que, vamos a obtener 20 muestras por cada periodo de la señal coseno. La amplitud va a ser de 1. En la señal coseno continua graficamos 3 periodos de la señal. Ahora, también graficaremos 3 periodos. Si por cada periodo obtendremos 20 muestras, lo que necesitamos son 20x3 muestras. Es decir, 60 muestras. El tiempo discreto irá desde 0 hasta 59. Ahora, definimos "x" como A por coseno de 2 pi por la frecuencia del coseno por el periodo de muestreo por n. Ahora corremos el programa, y obtenemos la siguiente grafica. Esta señal representa el muestreo del coseno continuo, que previamente habíamos graficado.
% -------------------------------------------------------------
% SECUENCIA COSENO
% x[n]=A*cos(2*pi*(1/T)*Ts*n)
% -----------------------------------------------------------------
T=0.001; %Periodo del coseno
Ts= T/20; % Ts: Periodo de muestreo en segundos
A=1; % A: Amplitud del coseno x[n].
N=60; % N: Número de muestras de x[n].
n = 0 : N-1; % Vector Tiempo Discreto
x = A*cos(2*pi*(1/T)*Ts*n); % Vector Señal x[n]
figure(2)
stem(n,x,'r'), % Gráfica de la secuencia x[n]
grid on ;
ylabel('x[n] Amplitud');
xlabel('n Seg');
title('Secuencia Coseno')
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