Autores: Mauro Benito Montoya Arenas (mauro2017pre@gmail.com)             

                  Terry Quispe Paniagua (terryfiee2021@gmail.com) 

Análisis de la estabilidad

Resumen:  En el presente documento se analiza lo visto en sesiones anteriores como es el caso de la estabilidad del sistema en lazo abierto, criterio de R&H, algebra de bloques y lugar geométrico de las raíces. Unimos todos estos conceptos para evaluar la estabilidad del sistema tanto en lazo abierto como lazo cerrado mediante los valores de ganancia para cual el sistema se hace estable con el método R&H y usando la herramienta de matlab “rltool”, se analizó cada valor de ganancia en las regiones de estabilidad y no estabilidad, para finalmente usar Simulink para comprobar lo hecho en cada apartado.

I.                   INTRODUCCION

En la actualidad, el uso de software o herramientas de cálculo de las raíces de una ecuación características es una labor muy sencilla y automática que permite ver de manera rápida si el sistema es estable o no. Sin embargo, hace mucho tiempo el cálculo de estas raíces no era tan sencillo, por lo que surgieron técnicas para su desarrollo. si bien es cierto el criterio de R&H no calcula las raíces, en cambio nos dice si el sistema es o no estable. Este criterio es muy útil hoy en día debido a que contribuye a la información acerca del comportamiento de un sistema, en el sentido de su diseño y ajustes de control en donde los valores no están del todo definidos.

Es de vital importancia conocer la estabilidad de un sistema debido a que podemos predecir el comportamiento de un sistema si se le adiciona una ganancia en lazo cerrado, esto nos da una idea de que pasara si variamos dicha ganancia. Esta ganancia puede tener polos y ceros o puede ser una constante como lo veremos en la parte 1 y 2 respectivamente. Utilizaremos la herramienta “rltool” que nos facilitara bastante la visualización y obtención de parámetros además de poder mover los polos del sistema en regiones de estabilidad, es decir en el semiplano izquierdo S, así poder ubicar según los parámetros de diseño la ganancia ideal

II. MARCO TEORICO

Lugar Geométrico de las raíces en un sistema de control

El Lugar Geométrico de las Raíces expone gráficamente información relacionada con la Respuesta Transitoria y La Estabilidad de un sistema de control. El método consiste en determinar la posición de los polos en lazo cerrado para cada valor de la ganancia K, a partir de las posiciones de los polos y los ceros de la Función de Transferencia a lazo cerrado.

A continuación, se hace un resumen de las reglas para construir el lugar geométrico de las raíces. Paralelamente, aplicamos cada paso a un ejemplo concreto, para reforzar la comprensión de la teoría. Para desarrollar dichas reglas, considere el modelo general de la siguiente Figura 1 para un sistema de control con realimentación:

Figura 1. Modelo general de un sistema

La función de transferencia a lazo abierto de este sistema es G(s)H(s). Mientras, la función de transferencia a lazo cerrado es:

(1)

Normas

1. El lugar geométrico de las raíces siempre es simétrico respecto al eje real Re del plano s.

2. Tiene tantas ramas como el valor máximo entre n y m, que son el orden de dos polinomios presentados más adelante, en la ecuación 4.

3. Cada rama comienza en un polo y termina en un cero de la función de transferencia directa G(s)H(s). Si los ceros no aparecen de manera explícita en el plano s, significa que están en el infinito.

1er paso - Obtener la ecuación característica.

Lo primero que debemos hacer es obtener la ecuación característica:

(2)

Ahora, supongamos que G(s)H(s) contiene un parámetro variable K como factor multiplicativo. Modificamos G(s)H(s) de tal forma que se pueda expresar como una función racional de la forma:

(3)

Donde Q(s) y P(s) son polinomios en s de grado m y n respectivamente. Es decir, que luego de sustituir (3) en la ecuación 2 obtenemos los siguiente:

(4)

Ejemplo:

Suponga que la ecuación característica de un sistema de control es la siguiente:

      (5)

Para expresar esta ecuación de la forma 4, se dividen ambos miembros de la ecuación entre el término que no contiene a K, es decir:

  (6)

(7)

El objetivo es aislar a K como factor multiplicativo de la función Q(s)/P(s).  En este análisis suponemos que la ganancia K es el parámetro de interés. El método es aplicable, sin embargo, a sistemas con parámetros de interés diferentes a la ganancia. Observe también que las propiedades se desarrollan con base en la relación entre los polos y ceros de G(s)H(s) y los ceros de 1 + G(s)H(s), que son las raíces de la ecuación característica.

2do paso – Ubicar los polos y los ceros de G(s)H(s) en el plano s. 

G(s)H(s) es la función de transferencia directa del sistema, es decir, a lazo abierto. Las ramificaciones del lugar geométrico de las raíces empiezan en los polos a lazo abierto y terminan en los ceros finitos o infinitos a lazo abierto. A partir de la forma factorizada de G(s)H(s) mostrada en la ecuación 4, ubicamos los polos y los ceros de lazo abierto en el plano s, atendiendo a las siguientes reglas:

- Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s)

- Los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s)

Demostración.

Como:

  (8)

(9)

Pero:

(10)

Lo que significa que:

   (11)

Sabemos que los polos de G(s)H(s) son aquellos valores donde el denominador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a infinito. Pero según (11) eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a cero:

  (12)

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son los polos de G(s)H(s). De igual modo, los ceros de G(s)H(s) son aquellos valores donde el numerador se hace cero, es decir, donde G(s)H(s) tiende a cero. Pero según 11 eso mismo es lo que pasa cuando K tiende a infinito:

    (13)

Por eso sabemos que los puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=∞ son los ceros de G(s)H(s). Una gráfica del lugar geométrico tendrá tantas ramificaciones como raíces tenga la ecuación característica. Dado que, por lo general, la cantidad de polos en lazo abierto es mayor que la de ceros, la cantidad de los polos es igual al de las ramificaciones.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

     (14)

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

          (15)

Es decir:

(16)

Los tres puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 y aquellos donde K=∞ se muestran en la Figura 2:

Figura 2. Puntos en los cuales K=0 sobre el lugar geométrico de las raíces de s(s+2)+K(s+1)=0

A cada polo X le corresponde un cero O. Como sólo se observan tres polos y un cero, se sobreentiende que el resto de los ceros están en el infinito y dependiendo de los siguientes pasos (el comportamiento del sistema) se sabrá si se trata de más o menos infinito. Cada parte del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero. Al construir los lugares geométricos sobre el eje real, seleccione un punto en éste. Si la cantidad total de polos y ceros reales a la derecha de este punto de prueba es impar, este punto se encuentra en el lugar geométrico de las raíces:

Figura 3.  El lugar geométrico de las raíces sobre el eje real se extiende sobre un rango de un polo o cero a otro polo o cero

Algunos de los lugares geométricos se aproximan al infinito cuando n y m (ver ecuación 18 más adelante) no son iguales. Las propiedades del lugar geométrico de las raíces cerca del infinito en el plano s se describen mediante las asíntotas del lugar geométrico cuando s tiende a infinito. Los lugares geométricos de las raíces para valores de s muy grandes, deben ser asintóticos para líneas rectas cuyos ángulos φA (pendientes) se obtienen mediante la siguiente fórmula:

(17)

Donde n y m son la orden del denominador y numerador respectivamente de la función de transferencia en lazo abierto G(s)H(s) expresada en forma racional, como en la ecuación característica 18:

   (18)

En otras palabras:

Conforme K aumenta, el ángulo φA se repite a sí mismo, por lo que la cantidad de asíntotas distintas es igual a n-m:

(19)

Todas las asíntotas interceptan el eje real en un punto. Si la abscisa de este punto y el eje real se representa mediante σA (centroide de las asíntotas), entonces:

    (20)

Debido a que todos los polos y ceros complejos ocurren en pares conjugados, σA siempre es una cantidad real. Una vez que se encuentra la intersección de las asíntotas y el eje real, es fácil dibujar las asíntotas en el plano complejo.

Ejemplo:

Suponga que un sistema tiene la siguiente ecuación característica:

  (21)

La forma factorizada de esta ecuación característica es:

(22)

       (23)

La Figura 3 muestra las asíntotas de este caso:

Figura 4. Asíntotas del lugar geométrico de las raíces s(s+4)(s2+2s+2)+K(s+1)=0

En la Figura 4 vemos que:

- Los cuatro puntos sobre el lugar geométrico de las raíces donde K=0 son s=0, -4, -1+j, -1-j. Aquellos donde K=∞ son s=-1, ∞, ∞, e ∞.

- El máximo entre n y m es 4, por lo que el lugar geométrico tiene 4 ramas.

- Los lugares geométricos de las raíces son simétricos con respecto al eje real.

- El número de asíntotas es 3, (n-m=3). Como el número de polos finitos excede al número de ceros finitos, el lugar geométrico de las raíces se aproxima a s=∞ a lo largo de las asíntotas.

- Los ángulos y el centroide de las asíntotas se calculan a continuación:

(24)

(25)

(26)

(27)

4to. paso – Determinar el lugar geométrico de las raíces sobre el eje real.

Debido a la simetría conjugada de los lugares geométricos de las raíces, los puntos de desprendimiento y de ingreso se encuentran sobre el eje real o bien ocurren en pares complejos conjugados. Para que un punto S1 sobre el eje real del plano s pertenezca al lugar geométrico de las raíces, debe haber un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha del punto. Todos los puntos del plano real que cumplen con esta condición forman una sección. En esta sección, K es mayor o igual a cero.

Ejemplo:

En la Figura 5 las secciones etiquetadas con RL (0≤K≤∞) forman parte del lugar geométrico de las raíces porque existe un número impar de polos y ceros de G(s)H(s) a la derecha de dichas secciones:

Figura 5. Propiedades del lugar geométrico de las raíces sobre el eje real

5to. paso – Determinar el ángulo de salida y de llegada del lugar geométrico de las raíces.

Para trazar los lugares geométricos de las raíces con una precisión razonable, debemos encontrar las direcciones de los lugares geométricos de las raíces, cercanas a los polos y ceros complejos. El ángulo de salida de un polo o de llegada a un cero, de un lugar geométrico de las raíces de G(s)H(s), denotan el ángulo de la tangente del lugar geométrico cerca del punto de salida o de llegada. Para calcular el ángulo de salida desde un polo complejo se utiliza la siguiente fórmula:

    (28)

El ángulo de salida desde un polo complejo es igual a 180 grados más la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros ceros, menos la suma de los ángulos de vectores hacia el polo complejo S1 en cuestión, desde los otros polos. La Figura 6 muestra la aplicación de este método:

 

Figura 6. Construcción del lugar geométrico de las raíces [Ángulo de salida = 180o-(𝛉1 +𝛉2)+𝜱]

Para calcular el ángulo de llegada a un cero complejo se utiliza la siguiente fórmula:

  (29)

Ejemplo:

Suponga la función característica siguiente:

(30)

(31)

Los polos de esta función a lazo abierto son s=-1, -3, -1+j, -1-j. Tomando en cuenta el punto S1 cercano al punto s=-1+j, de acuerdo con la Figura 7, el ángulo de salida del lugar geométrico en S1 es:

 (32)

Figura 7. Lugar geométrico de las raíces de s(s+3)(s2+2s+2)+K=0 para ilustrar los ángulos de salida y llegada

6to. paso – Determinar los puntos de corte con el eje imaginario.

Los puntos en donde los lugares geométricos de las raíces intersectan el eje jw se encuentran con facilidad por medio del criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz:

Como ejemplo regresemos al lugar geométrico de la Figura 6. Allí, los puntos de corte son s1 = -1.095j y s2 = 1.095j, donde K=8.16.  

7mo. paso – Determinar los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces.

La 8(a) muestra un caso en el que dos ramas del lugar geométrico de las raíces se juntan en un punto de ruptura sobre el eje real y después parten desde el eje en direcciones opuestas. En este caso, el punto de ruptura representa una raíz doble de la ecuación cuando se asigna el valor de K correspondiente al punto. La Figura 8(b) muestra otra situación en la que dos lugares geométricos de las raíces de polos complejos conjugados se aproximan al eje real, se encuentran en un punto de ruptura y después parten en direcciones opuestas a lo largo del eje real. En general, un punto de ruptura puede involucrar más de dos lugares geométricos de las raíces. La Figura 8(c) ilustra una situación cuando el punto de ruptura representa una raíz de cuarto orden.

Figura 8. Ejemplos de puntos de ruptura sobre el eje real en el plano s

Los puntos de ruptura sobre el lugar geométrico de las raíces de 1+KG(s)H(s)=0 deben satisfacer lo siguiente:

  (33)

Todos los puntos de ruptura deben satisfacer la ecuación anterior, pero no todas las soluciones de esta ecuación son puntos de ruptura.

Ejemplo:

Considere la ecuación característica siguiente:

  (34)

De esta se obtiene que:

  (35)

Luego:

  (36)

Es decir:

  (37)

Al resolver esta última ecuación, encontramos que los puntos de ruptura son s= -1.172 y s= -6.828, tal como se muestra en la Figura 9:

Figura 9. Lugar geométrico de las raíces s(s+2)

8vo. paso – Trazar el lugar geométrico de las raíces.

La parte más importante de los lugares geométricos de las raíces no está sobre el eje real ni en las asíntotas, sino en la parte de la vecindad amplia del eje ω y el origen. La forma de los lugares geométricos de las raíces en esta región importante del plano s debe obtenerse con suficiente precisión. Tomando una serie de puntos de prueba en la vecindad amplia del origen del plano s, podemos determinar los lugares geométricos de las raíces en la vecindad amplia del eje ω y el origen.

II. MATERIALES Y METODOS  

A. EQUIPOS, MATERIALES Y HERRAMIENTAS UTILIZADAS

Figura 10. Software Matlab

Figura 11. Software Simulink

B. ESQUEMAS

Figura 12. Sistema Parte I  

C. PROCEDIMIENTO

a. Parte I:

Para los siguientes sistemas:

Figura 13.  Sistema realimentado

-Determine el rango de valores de a y K para que el sistema sea estable. Justifique su respuesta

El sistema puede ser simplificado de la siguiente manera:

Figura 14. Sistema simplificado

Evaluando por el criterio de Routh and Hourwitz:

Tabla 1. Routh and Hourwitz para el Sistema de la figura 14

Para que exista estabilidad:

(126-K)/8>0----->K<126 (38)

10+K-64Ka/(126-K)>0 (39)

(10+K)(126-K)>64Ka (40)

Ka>0 (41)

De (41) y (40):

1260+116K-K2>0 (42)

K2-116K-1260 <0               (43)

(K-126)(K+10)<0 (44)

Ya que se cumple (38):

-10<K<126 (45)

De (40):

K2+(64a-116)K-1260<0 (46)

De (41), (45) y (46) podemos dibujar:

Figura 15. Los valores en la zona de amarillo vuelven al sistema estable

-Utilizando Matlab y simulink, realice simulaciones con diferentes valores de a y K que comprueben el rango hallado.

Para probar que la zona amarilla contiene los valores de K y a que hacen al sistema estable, probaremos en los límites muy cercanos a los valores que hacen al sistema inestable:

Figura 16. a=-0.01 y K=-9.9 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 17. Sistema estable cuando K=-9.9 y a=-0.01

Figura 18. Sistema hecho en simulink (K=-9.9 y a=-0.01)

Figura 19. Sistema estable cuando K=-9.9 y a=-0.01

Figura 20. a=0.1 y K=116 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 21. Sistema estable cuando K=116 y a=0.1

Figura 22. Sistema hecho en simulink (K=116 y a=0.1)

Figura 23. Sistema estable cuando K=116 y a=0.1 

Figura 24. a=20 y K=1 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 25. Sistema estable cuando a=20 y K=1

Figura 26. Sistema hecho en simulink (a=20 y K=1)

Figura 27. Sistema estable cuando a=20 y K=1

Probaremos ahora 2 valores que estén dentro de la zona amarilla y alejada de los límites:

Figura 28. a=1 y K=1 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 29. Sistema estable cuando a=1 y K=1

Figura 30. Sistema hecho en simulink (a=1 y K=1)

Figura 31. Sistema estable cuando a=1 y K=1

Figura 32. a=-2 y K=-1 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 33. Sistema estable cuando a=-2 y K=-1  

Figura 34. Sistema hecho en simulink (a=-2 y K=-1)

Figura 35. Sistema estable cuando a=-2 y K=-1  

Probaremos ahora 2 valores que estén en los límites de la zona amarilla 

Figura 36. a=2 y K=30 (punto en el límite de la zona amarilla: sistema críticamente estable)

Figura 37. Sistema críticamente estable cuando a=2 y K=30

Figura 38. Sistema hecho en simulink (a=2 y K=30)

Figura 39. Sistema críticamente estable cuando a=2 y K=30

Figura 40. a=-8 y K=-2 (punto en el límite de la zona amarilla: sistema críticamente estable)

Figura 42. Sistema hecho en simulink (a=-8 y K=-2)

Figura 43. Sistema críticamente estable cuando a=-8 y K=-2

Probaremos ahora 2 valores que estén fuera de la zona amarilla:

Figura 44. a=2 y K=40 (punto fuera de la zona amarilla: sistema inestable)

Figura 45. Sistema inestable cuando a=2 y K=40

Figura 46. Sistema hecho en simulink (a=2 y K=40)

Figura 47. Sistema inestable cuando a=2 y K=40

Figura 48. a=4 y K=-6 (punto fuera de la zona amarilla: sistema inestable)

Figura 49. Sistema inestable cuando a=4 y K=-6

 

Figura 50. Sistema hecho en simulink (a=4 y K=-6)

Figura 51. Sistema inestable cuando a=4 y K=-6

Análisis: En las imágenes pudimos observar cómo se comporta el sistema para distintos valores de “K” y “a”. Se puede ver que cuando “K” y “a” están en la zona amarilla el sistema es estable, pero su comportamiento cambia conforme nos acerquemos más al límite. Cuando estamos muy cerca al límite el sistema se va volviendo más subamortiguado (sus oscilaciones antes de estabilizarse crecen), pero cuando estamos en una zona alejada de los limites el sistema es sobreamortiguado o presente pocas oscilaciones y se estabiliza más rápido. Cuando “K” y “a” se encuentran en la zona limite (en los bordes) el sistema es oscilatorio (críticamente estable). Por último, cuando “K” y “a” están fuera de la zona amarilla el sistema siempre será inestable. Podemos comprobar el lugar geométrico de las raíces usando la función “zplane” para ver los polos y ceros de la función de transferencia en el plano real e imaginario:

Figura 52. Aplicamos la función “zplane” al sistema

Sistemas estables: Para el caso de sistemas estables los polos de H(s) se encuentran solo en el lado negativo del plano real e imaginario. Para el caso en que “K” y “a” están muy cerca a los bordes de estabilidad las raíces estarán muy cerca al eje imaginario, pero se encuentran en la zona negativa del eje real. Los ceros de la función pueden estar en la zona negativa o positiva del mapa.

Figura 53. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=-0.01 y       K=-9.9 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 54. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=0.1 y K=116 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

 

Figura 55. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=20 y K=1 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Figura 56. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=1 y K=1 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

 

Figura 57. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=-2 y K=-1 (punto en la zona amarilla: sistema estable)

Sistemas críticamente estables: Para el caso de sistemas críticamente estables los polos de H(s) (algunos o un solo polo) se encuentran en el eje del plano imaginario. Recordemos que solo es necesario que un polo se encuentre en el eje imaginario puro (y ninguno en la zona positiva del eje real) para que el sistema sea críticamente estable. Los ceros de la función pueden estar en la zona negativa o positiva del mapa.

Figura 58. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=2 y K=30 (punto en el límite de la zona amarilla: sistema críticamente estable)

Figura 59. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=-8 y K=-2 (punto en el límite de la zona amarilla: sistema críticamente estable)

Sistemas inestables: Para el caso de sistemas inestables los polos o un solo polo de H(s) se encuentran en el lado positivo del plano real. Recordemos que solo es necesario que un polo se encuentre en la parte positiva del eje real para que el sistema sea inestable. Los ceros de la función pueden estar en la zona negativa o positiva del mapa.

Figura 60. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=2 y K=40 (punto fuera de la zona amarilla: sistema inestable)

Figura 61. Polos (x) y ceros (0) de H(s) para:  a=4 y K=-6 (punto fuera de la zona amarilla: sistema inestable)

b. Parte II:

Se quiere controlar la orientación de una antena parabólica aplicando una determinada ganancia K

G(s)=1/s(1+0.16s)(1+0.02s)                           (47)

En que la salida es la posición angular del eje del motor y la entrada es la tensión aplicada. El cambio de posición viene dado por un cambio de consigna R(s) al sistema G(s).

-Analizar la estabilidad del sistema en lazo abierto por el criterio de R&H y por su ubicación en el plano s.

Análisis lazo abierto:

Verificando la ecuación (47) nos damos cuenta por simple inspección que no es estable debido a que hay un integrador, es decir un polo en el origen por lo visto en la teoría criterio de R&H es inestable, para ver mejor desarrollaremos dicha expresión:

G(s)=1/(0.0032s^3+0.18s^2+s)                            (48)

Nos damos cuenta de que la expresión anterior que por la ecuación (49) , donde a_n=0 , para lo cual no se elimina cualquier raíz cero, es decir en la ecuación (49) los coeficientes son positivos a excepción del término independiente , para lo que se concluye que existe raíz o raíces imaginarias o que tienen parte real positivas es por esto que el sistema es inestable.

a_0 s^n+a_1 s^(n-1)+⋯+a_(n-1) s+a_0=0                  (49)

s^2	0.0032	1
s^2	0.18	0
s^1	1
s^0	0

Tabla 2. Routh and Hourwitz para el Sistema de la ecuación 47

Verificando lo hecho en Simulink , dándole una entrada escalón y definiendo la función en lazo abierto como se muestra en la figura (62) y verificando la ubicación de los polos mediante el comando “pzmap” , sabemos que lleva un polo en el origen los demás polos están en el semiplano izquierdo y son reales ,si no estuviera el polo del origen seria estable , el diagrama de polos se muestra en la figura (64), además de ver que en la respuesta en escalón no es estable y tiende a crecer infinitamente como se aprecia en la figura(63)

Figura 62. Script que genera la respuesta y el diagrama de polos y ceros

Figura 63. Respuesta del sistema ante un escalón

Figura 64.  Diagrama de polos y ceros

Haremos el esquema del sistema en lazo abierto en Simulink para que en el siguiente apartado podemos comparar y ver las respuestas, la respuesta ante el escalón unitario se muestra en la figura (65)

Figura 65. Esquema del sistema Simulink

Figura 66. Respuesta del sistema ante un escalón

Análisis de lazo cerrado:

Obtener los valores de KL que lleva al sistema en lazo cerrado al límite de la estabilidad. Utilice el LGR.

Analizando la ecuación (50) en lazo cerrado como se muestra la figura (67) implementado en Simulink, para ello hallamos la función transferencia del sistema con una ganancia “K” y luego aplicamos el criterio de R&H de la siguiente manera: 

Figura 67. Esquema en lazo cerrado

Entonces el sistema de la figura (67) está definido por la ecuación (50) a la cual se le hizo el desarrollo mediante feedback y la ganancia en cascada con el sistema de lazo abierto.

H(s)=K/(0.0032s^3+0.18s^2+s+K)                    (50)

Antes de iniciar el desarrollo de R&H debemos notar que para que el sistema sea estable todos los coeficientes deben ser del mismo signo ya sea positivo o negativo por ende K debe ser positivo ya que los demás coeficientes son positivos, teniendo esto en cuenta procedemos a hallar el intervalo de valores para K donde el sistema es estable.

Tabla 3. Routh and Hourwitz para el Sistema de la ecuación 67

Primero por lo analizado antes como también los resultados de aplica R&H:

K>0                                                  (51)

(0.18-0.0032K)/0.18>0                           (52)

K<56.25                                          (53)

Entonces teniendo estos datos podemos definir el valor de K que hace estable el sistema y está determinado por:

0<K<56.25                                (54)

Para valores fuera de este intervalo el sistema indudablemente será inestable y lo demostraremos en el siguiente apartado.

Entonces añadiendo líneas de código a la figura (62) del Script donde describimos el sistema en lazo abierto, utilizando el comando “rlocus(g)” para visualizar el lugar geométrico de las raíces para el lazo cerrado y que se aprecia en la figura (68)

Figura 68.  Lugar geométrico de las raíces

Analizando la anterior figura podemos ver como varia el lugar si variamos la ganancia K donde los 3 polos siguen una línea distinta cada uno con el color propio , si nos fijamos en el polo 0 que hace inestable el sistema vemos que se moverá a la izquierda en donde el sistema es estable pero si seguimos variando el sistema ingresara al semiplano derecho de inestabilidad , lo mismo ocurre con el polo -6.25 solo que esta empieza en el semiplano izquierdo pero ira al semiplano derecho si variamos demás la ganancia , con respecto al polo -50 seguirá siendo estable ya que se mueve hacia la izquierda.

Cabe mencionar que como no tenemos ceros en el sistema los polos se dirigirán al infinito como se parecía en la figura (58). Ahora antes de seguir, en Simulink variaremos K de la figura (67) con los puntos de la región obtenida para ver su comportamiento, lo cual podemos ver en las figuras (69)(70)(71)(72)

Figura 69. Respuesta inestable para K=-2

Figura 70. Respuesta estable para K=20

Figura 71.  Respuesta inestable para K=56.25

Figura 72. Respuesta inestable para K=70

A medida que variamos el valor en la región de estabilidad la respuesta se hará más oscilante debido a lo que vimos en lugar geométrico los polos tendrán parte imaginaria. Ahora utilizando “rltool” setearemos los valores antes vistos para verificarlos, probando con K=56 vemos que la respuesta se atenúa lentamente debido a que está muy cerca de KL.

Figura 73.  valores de ganancia que generan la estabilidad

-Escoja un valor de ganancia (K1) para situar los polos del sistema para un coeficiente de amortiguamiento de ζ = 0.8

Primero corroboraremos lo hecho con la herramienta “rltool(g)” para hecho haremos algunas modificaciones a las propiedades para situarnos en la zona donde está el origen y sus 2 polos más cercanos, esto se visualiza en las propiedades de la herramienta Figura (74).  variando los polos podemos determinar la zona de estabilidad y luego el valor de ganancia para obtener un factor amortiguamiento 0.8.

Figura 74. Propiedades rltool

Modificamos la escala a -10 y 10 para poder centrarnos en la zona mencionada, ahora variaremos hasta obtener el factor de amortiguamiento deseado como se muestra en la figura (74), para ello nos ayudaremos de las opciones de diseño seteando el damping en 0.8. El resultado de con ese factor se visualiza en la figura (75).

Figura 75.  Ubicación de los polos para obtener ζ = 0.8

Para dicha ganancia y factor el sistema todavía está en el semiplano izquierdo por tanto es estable y sus parámetros se muestran en la siguiente figura.

 

Figura 76. Respuesta con ζ = 0.8

Vemos que presenta un pequeño sobreimpulso esto debido a que nuestros polos reales ahora tienen parte imaginaria y son conjugados.

Figura 77.  Ganancia para ζ = 0.8

-Hallar el tiempo de asentamiento para K1.

Para hallar el valor para usando rltool nos posicionamos en el valor de la ganancia donde el ζ = 0.8 para hallar k1 como se muestra en la figura:

 

Figura 78.  tiempo de asentamiento t=1.34

Este valor es corroborado en la figura (76) donde se ve el tiempo de establecimiento aprox. De la respuesta del sistema para un ζ = 0.8.

-Realizar el esquema de simulación. Obtener las respuesta a un cambio de consigna de 0.25 rad para K1 , KL , K> KL, K> K1

Siendo KL=56.25 y K1=2.2166

Figura 79.  respuesta para K=2.2166

 

Figura 80.  respuesta para KL=56.25

Figura 81.  respuesta para K=100

Figura 82.  respuesta para K=15

Todos los resultados obtenidos se encuentran en el archivo Simulink “análisis de estabilidad”, estos corroboran lo obtenido por el criterio de R&H como también lo hecho en la herramienta “rltool”, también pudimos evidenciar un sistema que un inicio era inestable por tener un polo en el origen se vuelve estable en lazo cerrado para una ganancia definida en el intervalo obtenido e inestable para valores fuera de dicho intervalo.

III. CONCLUSIONES:

- El criterio de R&H resulta bastante útil al momento de evaluar un sistema que no posee valores definidos como se vio en la primera parte, además de decirnos sobre la estabilidad del sistema viendo la función y siguiendo unas reglas se puede determinar la estabilidad incluso antes de iniciar a operar.

- Si se tiene un sistema con variables no definidas, se debe realizar el criterio de Routh and Hourwitz para determinar las condiciones que vuelven estable al sistema. En el lugar geométrico donde todas están condiciones se cumplan, ese será la región de valores para el cual el sistema es estable.

- En los límites de la convergencia el sistema es críticamente estable (presenta oscilaciones), cuando se encuentra muy próximo a los limites, pero en la zona de convergencia: el sistema es muy oscilatorio pero estable, y cuando se encuentra muy próximo a los limites, pero en la zona de no convergencia: el sistema es inestable y aumentará su valor mientras más pase el tiempo.

- La herramienta “rltool” es ideal cuando se quiere diseñar parte del sistema ya que nos ayuda a poner parámetros de diseño ya sea tiempo de establecimiento, factor de amortiguamiento, porcentaje de overshoot y frecuencia natural, al hacerlo tendremos una región de trabajo en donde se cumplirá lo puesto.

- Es importante visualizar los polos ya que estos nos dirán si el sistema es estable e inestable, pero también visualizar el recorrido en lazo cerrado en el diagrama de lugar geométrico ya que esto nos indica si es posible que nuestro sistema se vuelva estable en lazo cerrado como se vio en la parte 2.

IV. REFERENCIAS

[1]: https://dademuch.com/2018/05/16/el-lugar-geometrico-de-las-raices/

[2]: https://dademuch.com/2018/05/19/el-lugar-geometrico-de-las-raices-de-un-sistema-de-control-2da-parte/

[3]: https://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_de_ra%C3%ADces

[4]: https://ocw.ehu.eus/file.php/83/cap9_html/capitulo-9.html

[5]: http://leobravocontrol1.blogspot.com/2012/06/lugar-geometrico-de-las-raices.html