Autores: Mauro Benito Montoya Arenas (mauro2017pre@gmail.com)
Terry Quispe Paniagua (terryfiee2021@gmail.com)
Informe final N°5: Análisis Temporal
Resumen: En el presente documento hicimos énfasis en el análisis de un sistema de 2° orden específicamente del motor DC y la variación del parámetro inductivo de sus armadura conlleva a tener otro tipo de respuesta que será evaluadas mediante un resultado de transferencia sin aproximar y uno simplificado a un sistema de 1° orden , además se detalla el proceso de obtención de respuesta temporal analíticamente usando la transformada inversa de Laplace para cada caso y para cada respuesta escalón , impulso y rampa unitaria en primera parte, luego se hace una deducción del resultado aproximado que, en efecto es válido para nuestro sistema con valor de inductancia cambiado y que tiene cierta condición justificándose matemáticamente. Finalmente se hizo un análisis de la obtención del resultado aproximado mostrado en Simulink y sus diferencias con el resultado real llegando a una conclusión que es concordante con lo analizado en el gráfico de polos y ceros.
I. INTRODUCCION
Es importante entender el comportamiento de los sistemas , ya que casi todo los que nos rodea es un sistema desde nuestro organismo que cuenta con muchos sistemas como el sistema digestivo, inmunológico, respiratorio .etc. hasta los aparatos electrónicos que se basan en el modelado de sistemas , dicho esto es posible modelar y calcular la respuesta de un sistema basándonos en la física que interviene en dichos sistemas ,para evaluar la respuesta de un sistema ante una excitación de entrada se debe conocer su función de transferencia para someterlo al análisis por inspección desde ese punto, ante por ejemplo un escalón unitario y conocer cómo va a ser su comportamiento obviamente existen muchas clases de sistemas, en esta ocasión se analizara los sistemas de 1° y 2° orden y sus características propias.
II. MARCO TEORICO
Sistemas de primer orden: La función de transferencia de un sistema de primer orden es:
G(s)=N(s)/(s+a) (1)
donde N(s) es el polinomio del numerador de coeficientes constante al ser de tipo LTI. Por el principio de causalidad, el grado de N(s) es uno o cero, bien es una constante o es un cero de primer orden. Considérese el caso más simple, el numerador corresponde a una ganancia. La relación entre la entrada y salida del sistema vendrá dada por una ecuación diferencia ordinaria de primer orden:
Ty(t)+y(t)=kx(t) (2)
donde x(t) representa la señal en la entrada e y(t) es la salida. Aplicando a ambos lados de la igualdad la transformada de Laplace y considerando condiciones iniciales nulas, se conseguirá la FDT de los sistemas de primer orden.
El valor de k será la ganancia estática del equipo y T será la
constante de tiempo. En general, denominando ai y bi a los
coeficientes de los polinomios del denominador y del
numerador, respectivamente, de grado i, las dos FDT de primer
orden de los sistemas causales serán: 
Sin embargo, para determinar la respuesta dinámica del sistema
de primer orden se empleará el modelo de la ecuación (3). En el
caso de que tuviera un cero de primer orden, desde luego, su
dinámica cambiará. Pero desde el punto de vista metodológico,
se planteará como la adición de un cero al sistema simple
definido en la ecuación (5). Estos aspectos serán tratados en el
capítulo siguiente. Por tanto, se va a tratar de definir la respuesta
dinámica de un sistema simple de primer orden y si poseyese un
cero, su efecto se verá como una adición a la dinámica del
sistema simple. [1]
Respuesta temporal ante la entrada escalón [2]
Respuesta temporal ante la entrada impusional [3]
Respuesta temporal ante la entrada rampa [4]
Sistemas críticamente amortiguados 𝜁=1:
Sistemas subamortiguados (0< 𝜁<1):
La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón
unitario depende de las condiciones iniciales. Por conveniencia
al comparar respuestas transitorias de varios sistemas, es una
práctica común usar la condición inicial estándar de que el
sistema está en reposo al inicio, por lo cual la salida y todas las
derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo, las
características de respuesta se comparan con facilidad. La
respuesta transitoria de un sistema de control práctico muestra
con frecuencia oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el
estado estacionario. Al especificar las características de la
respuesta transitoria de un sistema de control para una entrada
escalón unitario, es común especificar lo siguiente: el tiempo de
subida, el tiempo pico, la sobreelongación máxima y el tiempo
de asentamiento.
Nota: A continuación, se obtendrá el tiempo de subida, el tiempo pico, la sobreelongación máxima y el tiempo de asentamiento del sistema de segundo orden obtenido mediante la ecuación (30). Estos valores se obtendrán en términos de 𝜁 y 𝑤𝑛. Se supone que el sistema está subamortiguado (k=1).
Tiempo de retardo (𝒕𝒅):
El tiempo de retardo es el tiempo requerido para que la respuesta
alcance la primera vez la mitad del valor final. [7]
Tiempo de subida (𝒕𝒓):
El tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respuesta
pase del 10 al 90%, del 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final.
Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo
general se usa el tiempo de subida de 0 a 100%. Para sistemas
sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de
10 a 90%. [8]
Tiempo pico (𝒕𝒑):
El tiempo pico es el tiempo requerido para que la respuesta
alcance el primer pico de sobreelongación. [9]
Tiempo de asentamiento (𝒕𝒔):
El tiempo de asentamiento es el tiempo que se requiere para que
la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final
del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor
final (por lo general, de 2 o 5%). El tiempo de asentamiento se
relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de
control. Los objetivos del diseño del sistema en cuestión
determinan qué criterio de error en porcentaje utilizar. [10]
Sobre elongación (𝑴𝒑):
La máxima sobreelongación es el máximo valor del pico de la
curva de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final
en estado estacionario de la respuesta es diferente de la unidad,
es frecuente utilizar el porcentaje de sobreelongación máxima.
Se define mediante: [11]
La cantidad de sobreelongación máxima (en porcentaje) indica
de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
Factor de amortiguamiento relativo (
):
): determinará la forma de la respuesta transitoria. En función de
su valor se puede deducir si el sistema es inestable (ζ < 0),
críticamente estable o no amortiguado (ζ = 0), sub amortiguado
(0 < ζ < 1), críticamente amortiguado (ζ = 1) o sobre amortiguado
(ζ > 1). [12]
Factor de amortiguamiento ():
): Determina las propiedades de amortiguamiento de un sistema.
Determina la velocidad de crecimiento o decaimiento de la
respuesta a escalón unitario de un sistema de segundo orden sub
amortiguado. [13]
Frecuencia natural no amortiguada (𝒘𝒏):
Corresponde a la frecuencia con la que oscilaría el sistema si no
existiese amortiguamiento (ζ = 0, respuesta de tipo senoidal).
[14]
Frecuencia natural amortiguada (𝒘𝒅):
𝑤𝑑 = 𝑤𝑛√1 − 𝜁
2, es la frecuencia natural amortiguada. Se puede
observar cómo la componente compleja de los polos produce
una respuesta temporal con presencia de senos y cosenos que
dan lugar a oscilaciones que se amortiguan con la envolvente
exponencial. [15]
Motor DC:
Un motor es un componente electromecánico que produce una
salida de desplazamiento para una entrada de voltaje, es decir,
una salida mecánica generada por una entrada eléctrica.
Suponemos que se dispone de un motor de corriente continua
(CC) como el que se muestra en la figura. [16]
Simplificación del modelo:
Si se supone que la inductancia de armadura La es pequeña en
comparación con la resistencia Ra, cosa que es usual para un
motor de CC, la función de transferencia cambia a:
II. MATERIALES Y METODOS
A. EQUIPOS, MATERIALES Y HERRAMIENTAS
UTILIZADAS
B. ESQUEMAS
Para el desarrollo de la práctica, los valores de los parámetros
del motor serán los mostrados en la Tabla 1, al menos que se
indique lo contrario.
a. Utilizando la ecuación (54) calcule teóricamente la
ganancia, la frecuencia natural, el factor de
amortiguación, el tiempo de asentamiento y el sobrepico de la respuesta del motor ante un escalón.
Remitiéndonos a la ec. 54 (función transferencia del motor) reemplazando los parámetros de la tabla 1 en esta ecuación, para llevarlo a la forma estándar, primero reemplazamos:
Comparando la expresión (56) y la forma estándar (58) podemos
rápidamente obtener los datos igualando, cabe notar que la
constante que está afuera de la expresión es la ganancia la cual
no afecta directamente los cálculos que vamos a realizar.
b. Definir en MATLAB la Función de Transferencia del motor en base a la ecuación (54).
Primero definimos los parámetros de la tabla (1), en un archivo
de MatLab que se creó y tiene como nombre
ParametrosDelMotor.m el cual se ejecutó
Ejecutando el archivo .m con la ayuda del comando tf(num,den) definimos nuestro función transferencia que llamaremos sys y que se mostrara en el comand Windows como se sigue:
Con respecto a la respuesta hay mucho que describir, esto se
detallara mejor en el apartado f.
c. Presente la ubicación de los polos del sistema en el
plano s. ¿Qué nos puede decir acerca de esto? ¿Qué
respuesta temporal se espera?
Teniendo nuestra función de transferencia definida por Sys,
utilizaremos el comando pzmap(sys) para poder visualizar el
grafico de polos y zeros, antes hallaremos los polos
analíticamente y corroboraremos los resultados:
- Manera analítica
Teniendo definida nuestra función de transferencia en la
expresión (55) procedemos a analizar el denominador,
hallando sus raíces que serán los polos del sistema.
- Mediante MatLab
Utilizando el comando “pzmap(sys)” para obtener los polos
y ceros de nuestro sistema ya definidos, lo que haremos será
añadir líneas de código al archivo “ParametrosDelMotor.m”
para que muestre también el grafico, para la obtención de
los polos mediante MatLab usaremos el comando
“pole(sys)”, de la siguiente manera:
Claramente visualizamos lo descrito anteriormente coincidiendo con los resultados analíticos y resultando lo predicho con respecto a la evaluación del factor de amortiguamiento.
d. Halle de forma analítica la respuesta temporal del
sistema ante la entrada de un impulso unitario,
escalón y rampa unitarios.
- Respuesta ante un impulso
Primero como nuestra entrada es un impulso lo pasaremos
al dominio de “s” la variable laplaciana para poder operarla
en dicho dominio teniendo en cuenta:
- Respuesta ante un escalón Ahora con la entrada escalón unitario transformándolo al dominio “s”, sabemos que el escalón unitario en laplace se representa por “1/s”, entonces:
- Respuesta a una rampa unitario:
Esta vez nuestra entrada es una rampa es por ello en el
dominio de laplace esta entrada se representa con “1/s²”,
entonces la expresión C(s) queda de la siguiente manera:
e. En Matlab y Simulink, halle las respuestas temporales
solicitadas en el paso anterior
- Respuesta temporal con entrada escalón unitario
- Respuesta temporal con entrada rampa unitaria
f. En referencia a la respuesta temporal obtenida ante
un escalón unitario, presenta e indique sus principales
características.
Primeramente si analizamos la figura notaremos que es la
gráfica de un modelo subamortiguado debido a que la respuesta
se amortigua además que el factor de amortiguamiento esta
entre 0 y 1 , esto también se ve reflejado en los polos que son
complejos conjugados, también podemos ver que presenta
sobrepico debido a que precisamente es subamortiguado,
también notamos que es oscilatorio y que tiene a un
valor(amortiguación) todo esto ya se observó cuando hallamos
las raíces y predijimos el resultado de la respuesta , la respuesta
se puede ver mejor si incorporamos el siguiente grafico como
medio de análisis:
En la figura 10 notamos claramente que para un factor de amortiguamiento entre 0 y 1 es subamortiguado y produce sobrepico además de oscilar y converger al valor de 1 esto puede variar dependiendo de la ganancia, pero claramente refleja el comportamiento con solo hallar sus polos y analizarlos.
i. Defina a función de transferencia del modelo del motor
(ec.52) como Hmotor y la del modelo simplificado (ec.53)
como Hsimp.
Los parámetros del sistema “Hmotor” está definido en el archivo
“ParametrosDelMotor2.m” y “Hsimp” se encuentra definido en
el archivo “ParametrosDelMotorAprox.m” ambos con L=0.08H,
si describimos sus funciones de transferencia para cada uno
reemplazando obtenemos lo siguiente:
𝐻𝑠𝑖𝑚𝑝 =
0.5/(𝑠+3) (102)
𝐻𝑚𝑜𝑡𝑜𝑟 =
6.25/(𝑠2+13𝑠+37.5) (103)
- Parámetros del motor definidos en MatLab -
“ParametrosDelMotor2.m”
- Parámetros del motor definidos en MatLab - “ParametrosDelMotorAprox.m”
ii. Presente la ubicación en el plano s de los polos tanto de
Hmotor y Hsimp.¿Qué características deberán presentar su
respuesta temporal de cada una de ellas? En base a su análisis
del mapeo de los polos, ¿Cree que es coherente que Hsimp se
utilice como simplificación de Hmotor? Justifique sus
respuestas.
Para la obtención del grafico de polos y ceros lo haremos de
manera analítica y por medio de MatLab para obtener el grafico
en el plano “s”
- Analíticamente:
La expresión (27) es la función transferencia aproximada del sistema cuando La<<Ra se aproxima a un sistema lineal , donde presentara un único cero el cual será -3 que se obtiene de manera sencilla. Algo que debemos tener en cuenta al evaluar estas expresiones tanto (26) y (27) es que ambos no tienen ceros y además cuentan con polos similares nos referimos a -4.32 y -3 ambos están cercanos al origen del plano (los polos p1=-4.32 y p2=-8.68 crean el mismo efecto que el polo p=-3)), se verá con mayor detalle cuando visualicemos el grafico a continuación:
- Mediante Matlab
a. Para Hmotor:
En este caso añadimos el comando “pzmap(Hmotor)” al Script
llamado “ParametroDelMotor2.m” para poder visualizar el
grafico de polos, el Script completo se mostró en la figura (11) y
el resultado se muestra a continuación , el resultado
efectivamente concuerda con el análisis que se realizó
anteriormente.
b. Para Hsimp: De manera análoga realizamos el mismo procedimiento, el Script se mostró en la figura (12), los resultados se muestran en la figura (14), obviamente se corrobora lo obtenido anteriormente.
Análisis:
Si observamos las figuras (14) y (13) podemos ver que existe un
polo similar en las 2 funciones transferencia además de que se
encuentra cerca al origen en cambio en la función de
transferencia no simplificada, expresión(103), existe un polo
adicional debido a que es de 2° orden este polo que se encuentra
alejado del origen tiene una contribución menor con respecto al
polo que se encuentra más cerca del origen y esto debido a que
su impacto en la respuesta es muy rápida y puede obviarse , a
diferencia del polo más cercano.
Bajo este sentido y teniendo en cuenta que no hay ceros y
además los polos son reales es factible reducir de orden la
expresión y llevarlo a una aproximación que se muestra en la
expresión (102) y que es resultado de la simplificación debido a
que Ra>>La y que se demuestra con el análisis del grafico de
polos y ceros.
iii. De forma analítica, halle la respuesta temporal de los dos
modelos (Hmotor y Hsimp) ante un escalón unitario.
Para esta pregunta partiremos de la expresión Hmotor con sus
polos hallados y expresaremos una función con los polos ya
separados de la siguiente manera:
La expresión (126) refleja el comportamiento del sistema aproximado, excitado con un escalón unitario.
iv. Usando Matlab/Simulink, compara la respuesta temporal
de los dos modelos (Hmotor y Hsimp) ante una entrada
escalón unitario. ¿Es una buena aproximación el modelo de
primer orden? Comparar las características temporales de las
respuestas de los modelos.
La respuesta temporal de los 2 modelos Hmotor, expresión (115)
y Hsimp, expresión (126) , utilizando Simulink previamente
definido su función transferencia en MatLab mostradas en las
figuras (11) y (12) respectivamente, posteriormente usando el
bloque “transfer func.” , el bloque “step” y ”scope”,como se
muestra en la figura (15), visualizamos la respuesta grafica en la
figura(16) y (17) los esquemas se guardaron el archivo
“modelosAproxynoAprox.slx”.
Análisis:
Como se puede apreciar en la figura (16) y (17) la respuesta
temporal es muy similar esto refleja que la aproximación es
válida, si nos fijamos detalladamente ambas respuestas
convergen a un valor estable de aproximadamente 0.165 , si
somos más observadores veremos que Hmotor alcanza más
rápido la estabilidad (esto es relativo si vemos ambas son casi
idénticas) en aproximadamente2.5 seg mientras que la forma
aproximada Hsimp alcanza su estabilidad en casi 3 seg una
diferencia bastante ajustada y que sin embargo es suficiente para
ver a simple vista que la aproximación es válida y constatando lo
previamente dicho al analizar los polos en el plano “s”.
h. Documente, describa detalladamente y comete los
resultados obtenidos en el desarrollo de la presente
guía.
En el presenta documento en la primera parte se describió el
comportamiento en del motor DC , primero hallando sus
características como son la ganancia , frecuencia natural , factor
de amortiguamiento , tiempo de asentamiento y sobrepico , todo
esto gracias a expresar la función de transferencia a su forma
estándar en la expresión(11) , desde ese momento con ver el
factor de amortiguamiento (𝜁) podríamos predecir sus polos y
su comportamiento en el tiempo ante un escalón unitario , es
decir al evaluar 𝜁 distinguimos que el sistema presentaba sobrepico por el hecho de que 𝜁 era 0.47 que se encuentra entre
0.1 además que tenía polos complejos conjugados , que se ven
reflejados en el “grafico de polos y ceros” en la figura(6) luego se
halló la respuesta del sistema para 3 entradas distintas que eran
escalón , impulso y rampa unitaria.
Posteriormente se cambió el valor de la inductancia de
armadura “La” talque “Ra>>La”.
Así poder hacer un modelo simplificado (expresión (27)) y uno
sin simplificar (expresión(26)) llegando a la conclusión en
primera instancia por el grafico de polos y ceros de la figura (13)
y (14) en donde se discute en dicho análisis que el polo más
alejado del origen (para este caso los 2 polos eran reales ya que
𝜁 era mayor a 1) podía ser prescindido por las razones que se
explican en ese apartado ii. . finalmente se llegó a la conclusión
por medio de Simulink que la respuesta aproximada o
aproximación del sistema era en efecto valida y que tenía un
despreciable error en el tiempo de estabilización.
Adicional (comportamiento del Hmotor sin aproximar y
aproximado ante una entrada impulso unitario y una entrada
rampa unitaria)
III. CONCLUSIONES
- Un sistema de segundo orden puede ser: inestable,
oscilatorio, subamortiguado, sobreamortiguado, o
críticamente amortiguado según sus características. En
caso del motor CC depende de la resistencia de armadura
(Ra), bobina del circuito de armadura (La), constante de la
fem, constante del par motor, inercia, amortiguación
viscosa equivalente.
- A partir de los valores de la tabla 1 pudimos concluir que el
sistema era subamortiguado. Cuando un sistema es
subamortiguado presenta un sobrepico característico y
oscila hasta estabilizarse.
- Cuando un sistema es sobreamortiguado, se puede obtener
una H(s) simplificada que será un sistema de primer orden,
y se puede verificar que tal H(s) simplificada sea correcta
analizando la ubicación de los polos. Para que sean
equivalentes el polo de la H(s) simplificada (sistema de
primer orden) debe tener el mismo efecto que los dos polos
de la función H(s) (sistema de segundo orden). Para eso el
polo del H(s) simplificada debe ser aproximado al polo
dominante del H(s) sin simplificar.
- Si se cumplen las características mencionadas en el párrafo
anterior, el H(s) simplificado puede reemplazar al H(s) sin
simplificar sea cual sea la entrada que se le introduzca al
sistema. Es cierto que presentará un margen de error, pero
este será mínimo.
- Haciendo uso de Matlab y Simulink pudimos corroborar
nuestros resultados analíticos que hicimos para hallar los
polos del H(s) y la función en el tiempo con las entradas
función escalón, impulso y rampa unitaria utilizando
Laplace y Laplace inversa para los casos cuando el sistema
era subamortiguado y sobreamortiguado
V. REFERENCIAS
[1]:http://www.ieef.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Se
rvos/Apuntes/6_AnaTemp_1_2.pdf (pag. 2)
[2]:http://www.ieef.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Se
rvos/Apuntes/6_AnaTemp_1_2.pdf (pag. 3,4)
[3]:http://www.ieef.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Se
rvos/Apuntes/6_AnaTemp_1_2.pdf (pag. 5,6)
[4]:http://www.ieef.upm.es/webantigua/spain/Asignaturas/Se
rvos/Apuntes/6_AnaTemp_1_2.pdf (pag. 7,8)
[5]:https://controlautomaticoeducacion.com/controlrealimentado/sistemas-de-segundo-orden/
[6]:http://ocw.uc3m.es/ingenieria-de-sistemas-yautomatica/senales-y-sistemas/temas/t9-ana301lisistemporal-2o-orden.pdf (pag. 3-6)
[7] Ingeniería de control Moderna- Ogata (pag. 170)
[8] Ingeniería de control Moderna- Ogata (pag. 170, 171)
[9] Ingeniería de control Moderna- Ogata (pag. 170, 172)
[10] Ingeniería de control Moderna- Ogata (pag. 170, 172,173)
[11] Ingeniería de control Moderna- Ogata (pag. 170, 172)
[12]:http://fichasinteractivas.pearson.es/material_ejemplo/Respuesta_tempora
l_segundo_orden.pdf (pag. 2)
[13]:http://fichasinteractivas.pearson.es/material_ejemplo/Respuesta_tempora
l_segundo_orden.pdf (pag. 2)
[14]:http://fichasinteractivas.pearson.es/material_ejemplo/Respuesta_tempora
l_segundo_orden.pdf (pag. 2)
[15]:http://fichasinteractivas.pearson.es/material_ejemplo/Respuesta_tempora
l_segundo_orden.pdf (pag. 2)
[16] Guìa 5 – Análisis temporal
